【正文】
　　人既是生产者，也是消费者，人口的性别、年龄、阶级、职业、民族、地区、文化教育以及其它社会构成对社会与经济等方面的可持续协调发展具有重要作用。在查阅我国历次人口普查的数据基础上，运用数学建模方法，具体研究三个问题：（1）预测我国的人口发展情况；（2）预测我国劳动力人口及老年人口比例的发展情况；（3）根据你的预测对我们的人口政策提出合理性建议。
关键词：人口老龄化   灰色模型   相关分析法  逐步回归分析
　　一、模型假设
　　1.忽略内部人口的迁移及人口的流动，不考虑人口的国际流动情况。
　　2.各种死亡因素对人口结构的影响一致，均视为自然死亡。
　　3.不考虑战争、重大自然灾害等因素对人口结构的影响。
　　4.不考虑香港、台湾以及澳门人口。
　　5.在预测人口模型中各项指标均在自然资源和环境的承载能力之中。
　　6.在未来20年人口生存的社会环境相对稳定，即没有战争及毁灭性灾难。
　　7.假设对未来人口的预测能最大可能符合人口发展的未来趋势。
　　8.预测用的基础人口总数、出生率等与实际相近，比较准确。
　　9.中国各地各民族的人口政策相同。
　　二、符号说明
　　 ——灰色预测法的原始序列;
　　 ——灰色预测法的原始序列预测值;
　　y1——我国各年老龄化系数——65岁及以上人口占总人口的比例(%)；
　　y2——我国各年男性劳动力人员比例（%）；
　　y3——我国各年女性劳动力人员比例（%）
　　x1——我国各年总人口数(亿人)；
　　x2——我国各年人口出生率(‰)；
　　x3——我国各年人口死亡率(‰)；
　　x4——我国各年人口自然增长率(‰)；
　　x5——我国各年0 ～ 14 岁人口总数(亿人)；
　　x6——我国各年15 ～ 64 岁人口总数(亿人)；
　　x7——我国各年总育龄妇女人数(亿人)；
　　x8——我国各年65岁以上总人数(亿人)；
　　x9——我国各年男性劳动力人员数(亿人)；
　　x10——我国各年女性劳动力人员数(亿人)；

1.问题一

1.1模型的建立与求解
1.1.1模型一
（1）灰色预测模型GM（1,1）
　　利用灰色预测理论建立GM（1,1）模型，记2001年为初始年，对11个历史数据进行模拟并对未来的人口总数、出生率、死亡率，年龄结构进行预测，利用数据列建立预测模型的步骤如下：
第一步:作一阶累加，形成数据序列
　　设时间序列有个观测值，通过累加生成新序列，则模型相应的灰微分方程为：
 
其中：
    为发展灰度，为内生控制灰度。
第二步:求参数和
　　设为待估参数向量，，利用最小二乘法求解可得：

其中：
       ，   ，
第三步:建立生成数据序列模型
　　求解微分方程，即可得到预测模型：
　　    ······（3）
第四步: 建立原始数据序列模型，即由累减生成原始数据序列的模拟序列值： 
，
　　这里是原始序列的拟合值，是原始数据序列的预测值。
（2）灰色预测模型的求解
　　利用《中国统计年鉴》搜集历年人口总数，出生率，死亡率和年龄结构情况，数据来源网址：http://www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj/2012/indexch.htm
　　用MATLAB编程进行拟合，预测出了2012-2031年的人口总数、出生率、死亡率、男女比例和年龄结构的情况，对于未来20年人口总数，出生率，死亡率和自然增长率情况如表1、表2：
表1：未来20年人口总数与各年龄段人口数量(十亿)预测表

人口总数（十亿）
年龄结构（%）


0-14岁
15-64岁
>65岁
2012
1.3558
16.0862 
74.7316 
9.1822 
2013
1.3629
15.5155 
75.0918 
9.3926 
2014
1.3701
14.9611 
75.4336 
9.6053 
2015
1.3774
14.4226 
75.7571 
9.8202 
2016
1.3847
13.9001 
76.0626 
10.0374 
2017
1.3920
13.3931 
76.3502 
10.2568 
2018
1.3994
12.9014 
76.6202 
10.4784 
2019
1.4068
12.4249 
76.8729 
10.7023 
2020
1.4143
11.9631 
77.1085 
10.9284 
2021
1.4218
11.5159 
77.3273 
11.1568 
2022
1.4293
11.0830 
77.5296 
11.3874 
2023
1.4369
10.6641 
77.7156 
11.6203 
2024
1.4445
10.2588 
77.8858 
11.8554 
2025
1.4521
9.8669 
78.0402 
12.0929 
2026
1.4598
9.4881 
78.1793 
12.3326 
2027
1.4675
9.1220 
78.3034 
12.5746 
2028
1.4753
8.7684 
78.4127 
12.8189 
2029
1.4831
8.4270 
78.5075 
13.0655 
2030
1.4910
8.0973 
78.5882 
13.3145 
2031
1.4989
7.7792 
78.6550 
13.5658 

表2：未来20年出生率死亡率自然增长率(‰)预测表

出生率
死亡率
自然增长率
2012
11.7784
7.3551
4.4878
2013
11.6994
7.4646
4.3377
2014
11.6209
7.5757
4.1926
2015
11.5429
7.6885
4.0524
2016
11.4655
7.8030
3.9168
2017
11.3886
7.9192
3.7858
2018
11.3122
8.0371
3.6592
2019
11.2363
8.1568
3.5368
2020
11.1609
8.2782
3.4185
2021
11.0860
8.4015
3.3041
2022
11.0116
8.5266
3.1936
2023
10.9378
8.6536
3.0868
2024
10.8644
8.7824
2.9836
2025
10.7915
8.9132
2.8838
2026
10.7191
9.0459
2.7873
2027
10.6472
9.1806
2.6941
2028
10.5758
9.3173
2.6040
2029
10.5048
9.4560
2.5169
2030
10.4343
9.5968
2.4327
2031
10.3643
9.7397
2.3513
　　
1.2.2模型二
（1）基于最小二乘法的波动拟合模型的建立
    由所查数据知，性别比例呈现波动性变化，本文为拟合这种非单调的波动性变化，采用了一个三角函数作为拟合函数，如下：
             

（2）模型的求解
　　本文运用最小二乘算法，用MATLAB进行编程计算，得到个系数一次为：
    
    
    
将参数代入拟合函数中，进行预测，可得未来20年性别比例如表3：
表3：性别比例预测表
年份
2012
2013
2014
 2015
2016
性别比例
106.3542
105.7185
105.0496
104.2603
103.4334
年份
2017
2018
2019
2020
2021
性别比例
103.0028
103.5641
105.3533
107.8313
109.8286
年份
2022
2023
2024
2025
2026
性别比例
110.2671
108.9397
106.7116
104.943
104.571
年份
2027
2028
2029
2030
2031
性别比例
105.5565
107.0785
108.2345
108.6375
108.4803

　　
（3）模型的结论
　　由以上对未来二十年人口结构预测数据知：我国总人口数将平稳增长，预计2031年达到14.989亿，0-14岁人口占总人口的比例不断减少，2031年后达到7.7792%,65岁以上人口比例不断增加。2031年达到13.5658%.人口将朝老龄化方向发展。人口出生率也逐年下降，死亡率逐年增多。而性别比例则维持在103～110间波动，这些预测是符合实际的，也是符合现在的发展趋势的。
　　
2. 问题二
2.2模型的建立与求解
　　  
2.2.1模型三
  （1）多元线性回归模型
　　根据相关分析的结果，虽然能够说明哪些因素对老龄化比例和劳动力人口比例产生影响，但不能说明他们对因变量产生什么样的影响，同时，为了对预测老龄化比例和劳动力人口比例，需要建立相应的关系式，又由于自变量间可能存在共线性现象，因此，采用逐步回归方法剔除不显著的变量，用方差扩大因子法消除变量间的共线性并用迭代法消除自相关，分别建立关于y1与x1、x2、x3、x4、x6、x7，y2与x1～x10以及y3与x2、x4、x10之间的回归方程。结果说明模型中不存在多重共线性、自相关和异方差，说明模型拟合效果较好。因此，我们最终得到可用于预测老龄人口总数以及男女劳动人口数的模型为:
　　y1=-0.989+1.161x3+3.080x7 ………………（1） 
　　y2=31.305+7.676x9-2.349x1-0.71x8…………（2）
　　y3=-15.082+9.825x10+1.098x4………………（3）  
（2）老龄化比例和劳动力人口比例的预测
　　从回归分析中，我们得出死亡率（x3）和育龄妇女人（x7）数对老龄人口总数的影响显著；男性劳动力人员数（x9）、人口总数（x1）、65岁以上总人数（x8）对男性劳动力总数影响显著；女性劳动力人员数（x10）、自然增长率（x4）对女性劳动力总数影响显著。并给出了相应的预测模型。若要预测老龄化系数比例，就必须先预测出其后若干年的死亡率和育龄妇女人数的变化；要预测男性性劳动力人口比例，就必须先预测出其后若干年的男性劳动力人员数、人口总数、65岁以上总人数的变化；要预测女性劳动力人口比例，就必须预测出其后若干年女性劳动力人员数、自然增长率的变化。我们首先通过灰色模型预测未来二十年育龄妇女人数、男性劳动力人口数及女性劳动力人口数，再通过多元回归模型来预测老龄化比例以及男女性劳动力比例的变化情况。结果如表3、表4、表5：
表3：未来二十年老龄化比例变化
年份
人口老龄化百分比（%）
年份
人口老龄化百分比（%）
2012
9.1616
2022
11.3610
2013
9.3700
2023
11.5959
2014
9.5809
2024
11.8332
2015
9.7944
2025
12.0735
2016
10.0102
2026
12.3165
2017
10.2289
2027
12.5626
2018
10.4499
2028
12.8115
2019
10.6738
2029
13.0634
2020
10.9001
2030
13.3187
2021
11.1292
2031
13.5767

表4：未来二十年男性劳动力比例变化
年份
男性劳动人口百分比（%）
年份
男性劳动人口百分比（%）
2012
35.6921
2022
36.6033
2013
35.7766
2023
36.7054
2014
35.861
2024
36.8113
2015
35.9453
2025
36.9193
2016
36.0334
2026
37.0288
2017
36.1237
2027
37.1421
2018
36.2155
2028
37.2559
2019
36.3095
2029
37.3735
2020
36.4042
2030
37.4925
2021
36.5026
2031
37.6151

表5：未来二十年男女性劳动力比例变化
年份
女性劳动力人口百分（%）
年份
女性劳动力人口百分比（%）
2012
31.2922
2022
32.4866
2013
31.3820
2023
32.6479
2014
31.4736
2024
32.8002
2015
31.5783
2025
32.9645
2016
31.6958
2026
33.1417
2017
31.8144
2027
33.3099
2018
31.9339
2028
33.4910
2019
32.0674
2029
33.6841
2020
32.2018
2030
33.8682
2021
32.3372
2031
34.0652
2.3模型结论
　　用2002～ 2011年十年间的0 ～ 14 岁的育龄妇女人数及对应的年份（因为2002、2010年育龄妇女人数数据缺失，所以删除了2001年数据，用2009、2011年的平均值代替2010年的数据），分别计算出这些变量的2012～ 2031年的外推预测值。将得到的数据分别代入已给出的回归方程（1）（2）（3）中，即得到2012～ 2031年的老龄化比例如表6、男性劳动力人口比例如表7、女性劳动力人口比例如表8。从这三个表中可以看到我国未来二十年年内，中国的人口老龄化和男女性劳动力比例将一直保持上升趋势。为了有效降低老龄化比例和有效提高劳动力人口比例，应严格控制与之相关因素，当然也要适当注意其他影响因素。
　　
3.问题三
3.1对人口政策调整的建议:
    根据综合问题一、问题二的预测，分析人口结构的变化。在未来二十年里我国0-14岁人口占总人口的比例不断减少，2031年达到7.7792 %,65岁以上人口比例不断增加。2031年将达到13.5658 %，人口将朝老龄化方向发展，人口出生率也逐年下降。我国人口老龄化使得劳动力抚养系数的增大，国家财政负担加重， 劳动力供给不足等。同时，人口老龄化还会对产业结构的调整产生重大影响，会对现行的养老保险制度及社会福利制度等提出新的要求。 
　　从问题二中的老龄化比例回归方程可知，要有效地降低老龄化比例， 需减少t 时刻总育龄妇女人数，而现有的总育龄妇女人数是无法改变的，因此，建议国家对目前的计划生育政策作出相应的调整，如有条件的开放二胎生育，但又为了人口峰值总量控制在15 亿左右和避免低生育水平出现反弹，导致人口规模失去控制，所以政策的开放时间不应早于2020年。我们知道我国在上世纪八十年代初期开始实行计划生育政策，在九十年代政策执行的已经较为普遍，这一批独生子女将在2015 年左右将达到生育年龄，为了缓解老龄化问题，以及独生子女赡养老人负担过重的问题，避免连续两代人均为独生子女，政策开放的时间应不晚于2030 年。
　　综上所述，我们建议把政策执行的时间定在2025 年。在政策的调整中，政策的制定可以考虑从“只生一胎”到“开放二胎”之间的过度政策，可以有条件的开放二胎，比如允许夫妻双方均是独生子女的家庭生育二胎。
　　




参考文献：
[1].《灰色动态模型在人口预测中的应用》，尹克新、荣推君，华北煤炭医学院.
[2].《中国统计年鉴》，中华人民共和国国家统计局，北京：中国统计出版社,2012.
[3].《百度百科》，http://baike.baidu.com/view/509361.htm.
[4].《系统建模》，郭齐胜、杨秀月、王杏林、徐享忠、段莉，国防工业出版社，第7.2.1小节，模型参数的辨识方法.
[5].灰色预测GM(1_1)模型的改进及应用》，杨华龙、刘金霞、郑斌；《数学的实践与认识》                  第41卷第23期，2011年12月. 
[6].《用MATLAB实现灰色预测GM(1，1)模型》，唐丽芳、贾冬青、盂庆鹏；《沧州师范专科学校学报》第24卷第2期，2008年6月.