【正文】

数学思维通常都是首先对数学对象的观察开始，可以说观察与实验（试验）是数学思维过程必需的和第一位的方法，在数学知识的发现和数学问题的解决过程中，观察与试验是常用的有效方法之一，正如数学家欧拉所说：“数学这门学科，需要观察，也需要实验”。

作为数学方法的观察，是对问题的数学特征通过视觉获取信息，即通过对所研究的问题在数或形上的结构特征进行仔细观察，发现其隐含的信息，再运用思维辨认其形式，结构和数量关系，从而发现某些规律和性质，使问题得以解决。例如，在证明两线段相等时，我们往往寻找包含它的全等三角形，可以从图形特征上来观察，由此得解题的途径；在因式分解的问题中，要考虑哪些项可以分组后提取公因式或用公式法，此时必须对其数量特征加以仔细考察。数学中的试验是在满足所考察对象的前提下改变一些因素（增加或减少一些限制）、赋予特殊条件乃至构造一个满足基本特征的较简单的模型，进行考察，以考察对象的性态，获取信息的一种方法。

例1：已知a、b、c互为不相等实数，求证：

分析：如果按常规把等式左端或右端通分，合并同类项证明左边等于右边（或右边等于左边）显然繁琐。如果注意观察其结构特征，发现其隐言的信息有，①等式两端字母都成轮换对称，②左端的三项中每项分母均为两个因式的乘积，而该两因式的差恰为分子，为此，可采用“裂项法”来证明，此题通过观察，对寻求问捷证明起到至关重要的作用。

证明：因为

         

         

 上面三等式相加，得

一个数学问题，从不同的角度进行仔细观察，使问题的内在联系变得明显，可开拓思路，寻找最佳解题途径。

例2，已知：，

求证：。

分析一：从纯三角的角度，由观察可以发现，题设与结论在结构上对称的特征，应有，于是由已知条件得

即 ：，可证得结论成立。

分析二，由观察注意到题中只含有正余弦的偶次方，想到用代数代换法，设，则，则问题已知变为：

 ，

求证变为：

 

通过代数运算即可证得。

分析三，由观察注意到题设与结论都是平方和为1的形式，利用三角代换方法。

设

由得:

即

从而，代入

可证得结论成立。

观察是数学发现的源泉，它是分析、综合、归纳、类比等思维活动的重要前提，翻开数学史，数学中很多命题的提出，均始于观察。例如，数论中的四方定理——整数方程n=x²+y²+z²+w²对于任何自然数n，都有x、y、z、w的非负整数解，它原先是由数学家巴歇通过观察试验而得到的一个猜想，后来得到了证明。又如著名的哥德巴赫猜想，每一个大于或等于6的偶数总可以表示为两个奇质数的和，也是一例。当然，观察与实验在数学解题活动中具有重要作用，在解题中通过观察与试验，得到猜想（含题中结论的猜想）及解题思路，为解题中思维活动起奠基作用，直至问题获得解决。

例3，设是正数组成的数列，其n项和为S_n，并且对于所有自然数n,a_n与2的等差中项等于s_n与2的等比中项，求数列通项公式。

分析：由已知条件，让n取1，2，3几个特殊的项，作试验，求出a₁，a₂，a₃，然后进一步猜想a_n通项公式

当n=1时，，s₁=a₁

,

当n=2时，，s₂=a₁+a₂   a₁=2,代入,解得

a₂=6,

当n=3时， ， 代入,解得

a₃=10.

观察： 

推测： 有了这个猜想，可以进一步用数学归纳法加以证明（略）.

由此可知，研究数学对象由观察、试验开始，为推理、归纳等思维活动提供感性材料，从而使思维活动展开有了基础。在实践中，观察与试验是互相联系，互相补充的，观察常常是试验的基础，而试验又可使观察所得到的性质或规律得以重现，验证（乃至否定，众所周知的费马猜想“F_n=(n是非负整数)是质数”，却由于欧拉发现F₅是合数而被否定，试验否定了此猜想）。

在解题活动中通过观察、试验，寻找解题思路，特别是可寻找到简捷的解题途径。

例4            解方程

   观察：发现两个根号内都含有一个，可用换元法试试,

 　解法一：设=t，则 x=t²+3,代入得

  

  

所以，t+1+t+2=5  (t0)

   因此 t=1,即 x=4

   观察：除发现两个根号内都含有一个，又进一步观察到每个根号内的式子都可以凑成一个完全平方，这样解题思路自然来了。

解法二：把方程变为

  

   即

   所以+1++2=5

    即：=1，

     因此，x=4.

选择题是数学题中一类重要题型，数学选择题的求解，要求学生要有观察、试验能力。选择题的常用解法中大部分与观察、试验有关，如特殊值法、检验法、筛选法、反例法、图解法无不例外。由于选择题的特点，选择支为观察、试验提供素材，又通过对选择支的观察、试验排除明显的错的选项，直至得到正确的选项，可为解题（尤其是考试时）赢得宝贵时间，为获得正确答案无疑是极有价值的。

例5  2^-(2k+1)-2^-(2k-1)+2^-2k ()等于（  ）

（A）.  2^-2k    （ B）. 2^-(2k-i)    （C）. -2^-(2k+1)    (D).  0

分析:观察到题中()这一条件，可取特殊值代入试验，

取k=1时，原式=2^-3-2^-1+2^-2==-2^-3，

取k=2时，原式=2^-5-2^-3+2^-4=-2^-5

由此，可猜测原式应为-2^-(2k+1),结论(c)正确。

例6  不等式的解集是（   ）

（A）．  ；          （B）．   ；

（C）．； （D）.    。

观察：不等式中x0,可排除（A）；令，知x的值不对称，可排除（C）、（D），正确的选项就只有（B）了。

观察是一种有意的知觉，是知觉的特殊形态，但不仅限于知觉，常与思维相结合，对观察对象同时进行分析、综合、抽象、概括、判断推理是经验认识的方法。而试验是根据所研究问题的需要，按照研究对象的自然状态和客观规律，人为地设置条件，使所希望的现象产生或对其进行控制的科学方法。要获取观察试验能力，解题训练是重要手段，而有了观察试验能力，又进一步增强了解决数学问题的能力。