【正文】摘要：某些代数问题，采用代数方法运算繁琐，学生常常感到“烦”或无从下手，文章针对常见的几种代数问题进行求解，希望对读者有所启示。
　　关键词：代数问题、联想、几何背景。
　　在数学教学中注重“联想”，有助于学生领悟到数学的整体观念和获得解决问题的能力。特别某些代数问题，若能“联想”它的几何“背景”，往往可以使问题轻松获解。
　　例1、求函数y=错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。的最小值。
　　分析：本题若采用代数方法，则运算较繁琐，若能“联想”它的几何“背景”——两点间距离公式，不难发现，经过配方，可以把函数的右边看成是一个动点到两个定点的距离之和，再据此求函数的最小值。
　　解：由y=错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。
　　       ＝错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。
　　令A（4，2）、B（0，1）、P（x，0），则上述问题便转化为在X轴上求一点P（X，0），使得|PA|+|PB|最小。
　　作点A（4，2）关于X轴的对称点A′（4，-2），由图便可直观地得出，|PA|+|PB|的最小值即为|BA′|的长度，由两点间的距离公式可得：
　　|BA′|=错误！未找到引用源。＝5
　　∴函数y=错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。的最小值为5。
　　变式引申：已知0﹤x﹤1，0﹤y﹤1，求证：
　　错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。≥2错误！未找到引用源。
　　分析：“联想”不等式左边的几何“背景”——两点间距离公式。
　　证明：设P（x，y）、O（0，0）、A（0，1）、B（1，0）、C（1，1）于是不等式左边表示为：
　　
　　|OP|+|AP|+|BP|+|CP|，其中，P为以1为边长的正方形OBCA内任一点，则：
错误！未找到引用源。＋＋错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。=|OP|+|AP|+|BP|+|CP|≥|AB|+|OC|=2错误！未找到引用源。
　　例2、求函数f(θ)错误！未找到引用源。的最大值与最小值。
　　分析：f(θ)=错误！未找到引用源。可以看成两点P（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），A（2，1）连线的斜率，而A为定点，P是圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1上的动点。因此，求函数f(θ)的最值问题就“联想”到它的几何“背景”——求直线PA的斜率的最值。
　　解：如图f(θ)可看成P（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），A（2，1）两点连线的斜率，且P在圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1上运动，过定点A作圆的两条切线AP1，AP2，则AP1斜率最小，且最小值为0，AP2的斜率最大，下面求AP2的斜率，设AP2的斜率为k，则直线AP2的方程为：y-1=k（x-2）即kx-y-2k+1=0
　　AP2与圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1相切
　　∴圆心到切线的距离d=错误！未找到引用源。=1
　　两边平方整理得3k2-4k=0
　　∴k=0或k=错误！未找到引用源。（其中k=0是AP1的斜率）
　　∴kAP2=错误！未找到引用源。
　　∴f(θ)max=错误！未找到引用源。, f(θ)min=0
　　例3、已知实数x,y满足   2x+y-2≥0
                             x-2y+4≥0
                             3x-y-3≤0
　　问：（1）错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。在何时取得最大值和最小值？最大值、最小值各是多少？
   （2）t= 错误！未找到引用源。的情况又怎样？
   （3）u= 错误！未找到引用源。+y的情况又怎样？
    分析：可知x、y的约束条件是线性的。
   （1）因为错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。,所以“联想”它的几何“背景”——两点间距离的平方。故错误！未找到引用源。为可行域内动点（x,y）到原点O（0，0）距离的平方；
    (2)函数u=错误！未找到引用源。+y即为y=-错误！未找到引用源。+u,“联想”它的几何“背景”——抛物线,顶点（O，u）在y轴上移动；
   （3）t=错误！未找到引用源。“联想”它的几何“背景”——两点连线的斜率公式，错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。为两点（x,y）与（-1，-1）连线的斜率。
解：画出不等式组  2x+y-2≥0
　　　　　　　　　x-2y+4≥0
　　　　　　　　　3x-y-3≤0
表示的平面区域，如图所示为 △ABC包括边界及其内部。

（1）因为错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。,表示的是可行域内的动点M（x,y）到原点距离的平方，可知当点M在边AC上滑动，且OM⊥AC时，错误！未找到引用源。取得取小值，于是错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。2=错误！未找到引用源。；当点M滑到与点B（2，3）重合时，w取得最大值，即：
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=13,
故错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=13
(2)因u=错误！未找到引用源。+y变为y=错误！未找到引用源。+u，令u=0，得y=错误！未找到引用源。，作抛物线y=错误！未找到引用源。，如图所示，由图可知，向上移动抛物线，当抛物线y=错误！未找到引用源。+u与直线2x+y-2=0相切时，u取得最小值；当抛物线经过点B（2，3）时，u取得最大值。
       y=错误！未找到引用源。+u
　　   2x+y-2=0      得错误！未找到引用源。-2x-(u-2)=0
   ∵抛物线与直线相切，∴   =错误！未找到引用源。+4(u-2)=0u=0.
   即错误！未找到引用源。=1.
   令抛物线y=错误！未找到引用源。+u经过点B（2，3），即
   3=错误！未找到引用源。+uu=7,∴错误！未找到引用源。=7.
   故u=x+y的最大值为7，最小值为1。
   （3）因为t=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。是可行域内的动点M（x,y）与定点P（-1，-1）连线的斜率，如图所示过定点P的动直线l扫过可行域  ABC时，可以看到直线PA的斜率最小，直线，PC的斜率最大。
   错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,  错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=3,
故知t的最大值为3，最小值为。
    例4、不等式错误！未找到引用源。＞.ax的解集员（0，4），求a的求值范围。
　　分析：令y1=错误！未找到引用源。（0≤x≤4），y2=ax，则y1=错误！未找到引用源。（0≤x≤4）是圆心在（2，0），半径为2的圆在X轴上方的部分,y2=ax是过原点且斜率为a的直线，故不等式就“联想”到它的几何“背景”——直线与圆，问题迎刃而解。
　　解：令y1=错误！未找到引用源。（0≤x≤4），y2=ax
　　∴不等式错误！未找到引用源。＞ax的几何意义是半圆在条形区域{（x，y）|0<x≤4，0＜y≤2}上恒处于直线的上方，如图所示，a＜0时，上结论恒成立。
　　∴a的取值范围是（-∞，0）。
　　变式引申：已知关于x的不等式错误！未找到引用源。＞ax的解区间为（0，2）的子集，求a的取值范围。
　　分析：类似例5处理。
　　解：设函数y1=错误！未找到引用源。（0≤x≤4），y2=ax，其图象如图所示，要使不等式的解区间为（0，2）的子集，由图易知a≥1。
　　解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科，它把平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系，使平面图形的某些性质（形状、位置、大小）可以用相应的数、式表示出来，使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题研究。反之，某些代数问题又可以转化为相应的几何问题研究。
　　总之，代数问题若能“联想”它的几何“背景”，利用图形的直观效果，巧妙地求解，使求解的过程异常简捷，从而体现了数形结合，数形统一，形与数达到完美的统一的目的。