【正文】摘  要 本文利用面积思想简捷地证明了某些定理,不等式,复杂的比例式等问题.还可以用来解决数学中的一些平面几何问题,如证明长度或角度相等,共线等问题.             
1 引言
   利用面积思想来解决数学中的许多问题,这是一个古老而又年轻的方法,早在三千年前,在几何学还没有形成一门系统的学科时,人们已经会用这种方法来解决某些问题了.
   众所周知,到目前为止,勾股定理常见的证明方法,已有数十种了,但其中最简单的证法仍然是利用面积关系.
   如勾股定理证明方法之一：如图,四个同样大小的直角三角形的斜边围成一个正方形,它们的直角边围成一个更大的正方形.
   设两直角边分别为a,b斜边为 c,图中大正方形面积
                   
小正方形面积
　　　　　　　　　　　
直角三角形面积.显然有
　　　　　　　　　　　　　　　　　                                   
也就是                                                                图1
                               
把等式的左边展开,两边消去,便得勾股定理
   .
   上面介绍的勾股定理的一种面积证法,但它已经体现了用面积关系证题的基本思想.
   在解题的过程中,巧妙地运用面积公式,可以将问题化繁为简、化难为易,并能优化过程,达到事半功倍的效果,从而使问题获得妙解.以下列出在用面积思想解题时常用的公式.

2  用面积法证题常用的公式
　　（1）设在ABC中,角A,B,C所对的边依次为a,b,c，又为a 边上的高,R为其外接圆半径,r为其半径,,则
　　1                                2   ;

　　3   ;                     4    ;
　　5 .
　　(2) 在凸四边形ABCD中,边长分别为a,b,c,d两对角线长为e,f,两对角线夹角为,,则
   1  ；
   2；
   3   .
　　(3) 面积分割原理：一个图形的面积等于它的各部分面积的和.
　　(4) 内接于等圆的两个三角形的面积比等于三边乘积的比.
　　(5)公边比例定理：若的公共边所在直线与直线交于，则.
　　(6)公角比例定理：若的，则.
   在解题时，应用面积关系解题往往有出人意料的效果，它的基本思路是:用不同的方法计算同一得到一个等式,再对它进行整理或变换,以获得我们所要的结果.我们已经熟悉了几个基本的面积公式,下面用具体实例说明面积法在解题中的应用.
3  利用面积思想导出基本定理
  命题1 由点P发出的三射线PA，PB，PC,，那么A，B
C三点在一直线的充分必要的条件是 .                             (1)
　　证明 如果 A，B，C三点公共线，那么
                   
　　　　　　　　　
                 
两边同除以，即得所要证的等式.
　　反之,如果命题中等式成立,那么反推可得面积方程                     图2
　　　　　　　　　　　　　 
这说明：
                                                  
即A，B，C三点共线.
　　在命题1中，取特殊情况可以证明下面的定理.
如果 均为锐角，那么.
　　证明 在命题1 中，取的特殊情形，那么当C 为垂足时，有
                                             （2）
将（1）式乘以PC，并将（2）式代入（1）式，即得所要证的命题.
还可以直接从面积关系出发导出定理，如果那么.
证明 作使，令,在 AC上取点B，令  .列出面积方程 
　　　　　　　　　　　　　　   
                          
                      
两边同除以，得
                                         图3
再以代入上式，即得所要证明的定理.

　　4 证明长度
　　在证明角度相等,通常是利用相似三角形性质,平行的性质,或三角形的内角和关系等,但有时不容易发现这些关系,可用面积方程来解决.
    问题在直角的斜边在上取一点,使,又取的中点为,和垂直于,求证:. 
　　证明 是的中点
                     即
　　　　　　　　　     
令由，
                                                            
由比例定理可得:                                                        图5
　　　　　　　　　.                             (1)      
在中                                                                 (2)
又                                        (3)
将(2),(3)代入(1)式可得
　　　　　　　　　　　　　　　　　
化简得
　　　　　　　　　　　　　                
 即是等腰直角三角形.
                         .
　　5证明和差倍分关系
　　问题 在的边上分别取连结相交于  求证 
      
　　证明  由比例定理可得
.               (1)
由比例定理可得             
将上述三个等式代入(1)式可得
                                        图8
　　　　　　　　　　　　　　　  
                                     
 同理可得    .     
 同法可求得                             
　　6利用面积关系作几何计算
　　问题 在矩形中,对角线的延长线上取一点已 求.
　　证明  由  
         
相比,得
　　　　　　               
  ,且          
　　,  设.          图9
           
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解得 ,即
　　通过以上的例子,我们可以观察到用面积思想解题的步骤:第一,列出面积方程.第二,用面积公式代入面积方程.第三,整理所得的等式.但通过作题,我们发现第一步最难,因为一道几何题中通常有几个面积,我们不知道要选择哪个面积,现在我们不妨来谈谈在选择时我们应把握好以下几条规律:第一,在列面积方程时,要找那些与已知条件有密切关系的面积,特别是三角形.第二,在面积方程中常常出现一些与结论无关的量,有时在一个方程中消不掉,就应多列一些方程.第三,在列多个面积方程时,要使不同的方程中出现相同的量,便于消去.当然,这只是一些规律,在具体解题时,我们应该灵活运用面积公式,并且我们应多列几次以便找到合适的面积方程.
　　总之，我们可以看到，通过面积思想解题可以使某些定理简捷地获证，也能巧妙地解决大量的平面几何，三角，不等式问题甚至还可以解一些难度较大的数学竞赛题.我们还可以看到面积思想具有直观、简便、灵活、新颖的特点.而且，我认为在数学教学中,教师不仅要教给学生一些基本的解题思路,同时要引导学生通过有直现针对问题要求,抓住解题,巧用已知条件,简化思维过程,寻求最佳思路.这对学生基础知识的学习和数学能力的提高是有很大帮助的！