【正文】  有效教学的理念源自20世纪上半叶西方的教学科学化运动.1986年在加拿大经由专家学者的讨论形成共识：在达成有效教学的工作条件中，教师一向是关键.故此，教学有效与否，是考量教师专业化水平的重要因素.而教师需具备何种理念与素养，才能让数学课有效？笔者认为，教师教学观念与行为上要厘清与处理好如下五个辩证关系.
　　一.“简”与“丰”的关系
　　数学课上我们始终做着删繁就简与开发充实的工作. 一方面，数学一直以内容与形式的简洁美作为目标追求.当然，作为传递科学知识的数学课堂，也一直追求着数学的“简洁美”.例如概念教学，我们需透过生活及相关学科对象的共同属性，抽象概括出普适性的数学模型，将它研究透彻并反哺于数学与相关学科.这种抽身出具体情境外，广泛抽象、概括出一类事物数学本质并加以研究的特点，是追求数学结构与方法简洁美的具体体现.比如导数概念教学，创设情境时无论是求变速运动的瞬时速度，还是求曲线在某点处切线的斜率，或者是经济学中的边际函数，最后都精简为同一模型，即△x→0时，→？数学概念形成中要跳出情境，凸显数学本质，它体现的是数学的一种价值追求──思维的经济化与应用的广泛化.从小学的整数及其运算，到高中向量、导数等概念的形成及运算，数学一直都以广泛概括、高度抽象的特色在行事.这是数学简化思想的应然与实然状态.再如解题时我们一直在做“…见简即用，见繁即变，不胶一法”之事.阿蒂亚说：“数学的统一性与简单性都是极为重要的，数学的目的就是用简单而基本的词汇去尽可能多的解释世界.”教学中一题多解、一题多变、多题一解、多题归一的教学旨趣，在于培养学生概括、抽象、在变式中抓不变本质的能力，这与数学的学科精神是一致的，即追求普适、思维经济与最大化的精神.
　　例如，对于解析几何起始课，许多教师不给学生俯瞰全章的机会，毫不耽搁地直奔倾斜角与斜率的告知式教学，看似课堂容量大，但解几的学科价值却淹没在条文教义中.事实上，章节起始课特别值得教师花气力进行充实丰富.本节课教师不妨先介绍费尔玛与笛卡尔的解几开创性工作，再指出开普勒发现行星运行的轨道是椭圆，伽利略发现抛物体的运行轨迹是抛物线，向学生提出问题：①科学家将如何预测物体的位置？②如何实现几何问题代数化？这样既让学生从数学史料中了解了学习本章知识的必要性，又对本章节的核心思想方法——坐标法有了初步了解与学习的积极心向.
　　二.“粗”与“细”的关系 
　　可以说，数学就是精确严谨的同义词.这种精准性体现在概念本身及概念生成与发展的全过程中，体现在背景、解释和相关情境中，体现在前题条件与对应结论、体现在逻辑关系上.
　　但有时我们根本无法在一节课或一段时间内，让学生一步到位地掌握一些知识.例如函数概念的教学，学生经历了从变量说到对应说的漫长过程，只有让学生与这些内容一次次的“相知”、“相遇”，学生才有可能逐步领悟其本质.再如导数是特殊的极限，但教学时我们讲导数却不讲极限.在这里我们舍弃了概念的精准严谨.因为教学实践表明，在这里若一味追求数学的精确，教学效果很可能适得其反.即学生对导数概念的彻底不理解，对数学抽象性的焦虑及自信心的极大失落.故有时需权衡学生的数学现实与数学的严谨性要求，需要适度牺牲掉数学的精确性，一段时间内允许学生适度模糊粗糙地理解知识，此时的模糊正是为了日后学生对概念理解的精准与精进，试图毕其功于一役的做法反而徒劳无益.朱熹说;“幼时读书，背至滚瓜烂熟，不甚了了，成年逐渐感悟，回思意味深长”.再如章节起始课教学，也是宜作宏观粗放的处理.比如可以粗略的进行知识点的导学介绍.让学生对本章节知识的起源、学法特点、涉及到的数学思想，本章节内容在中学教材中的地位与作用有一个大致粗略的了解.这样的教学更容易激发学生数学学习的主动精神，使学生先见森林，再细究树木，进而上下通透地理解教材内容.
　　三．“雅”与“俗”的关系 
　　科学史告诉我们，科学的发现仅有逻辑思维是不够的，若没有诗人般的想象力将难以做出突破性的发现.徐利治在谈自己的治学体验时总结了6条经验，其中一条是喜爱文学.教师在教学时，若能用诗化的语言来表征数学、点拨学法，会大大增强教学效果.例如我们可用“横看成岭侧成峰”来说明数学中的“算两次”思想；用朱熹的“向来枉费推移力，此日中流自在行”说明夯实数学基础的重要性；用“行到水穷处，坐看云起时”来说明思维受阻时，换一个视角别有洞天；用“遥知不是雪，为有暗香来”来说明数学推理无处不在.这样课堂让学生看到了数学的“雅”与“趣”.
　　但数学课也可以换一副面孔.爱因斯坦曾说：“为什么所有电子的电荷都一样呢？”猛地，他又说：“为什么所有的羊粪蛋的大小都一样呢？”爱因斯坦后一句比喻虽粗俗，却把“只能意会”的缄默知识用简易的语言解释得清晰明了.教授数学中的一些缄默知识时，这种做法值得借鉴.波利亚认为，为了使学生明确一些抽象的东西，教师无须介意语言“富有诗意”还是“轻浮无聊”.只要有利于学生理解，教师便可“雅”可“俗”.
　　四．“缓”与“急”的关系
　　课堂上教师创设情境比直接抛出结论进度缓，让学生探究比接受式教学节奏缓.教师给出发散性问题，让学生深度慢思，比起教师话音未落学生齐声应答的课堂看起来节奏缓.课堂上总喜欢倾听学生想法的教师，比起总是从头讲到尾的教师，知识进度要缓一些.然而从人的长远后劲看，知识的细节终会忘记，沉淀在心底的是数学的思维习惯与观念，看似缓慢的前一种课堂，通过学生经常的探究活动，通过经久地思考有挑战性的深度问题，恰恰能较好地培养学生科学的思维习惯与数学观念.从该层面来说，“缓”反得益多，遇速则不达.
　　五.“高”与“矮”的关系
　　教师拥有的专业知识需要比他所教的学科内容知识丰富深厚.惟有如此，教师在教学内容选择、教学过程设计中，才有可能站在系统的高度将所教知识进行纵横联系；才能知晓哪些是起学科支撑作用、要夯实砸透的知识，哪些是细枝末节不值得过于纠缠的内容.因此，有效教学中教师的专业知识一定要有高度.
　　但同时，教师也必须了解当前学生心理与认知基础.教师虽闻道在先，对所授内容早成竹在胸，但课堂上我们需要不时矮化身份，以一个无知者的身份与学生一起找方案想办法，决不过早介入. 只有在学生经历了充分的数学化活动，学生的探究超出了他们的能力所及之时，教师才能介入指导.故教学中教师要把自己的知识高度不时进行“矮化”处理.“矮化”即是作教育形态的加工，正如钓鱼者要考虑鱼饵是否适合鱼的口味一样，若学生需要的一杯水与教师的一桶水口味不符，学生会拒绝吸收，即使喝下也会消化不良的.