【正文】  认识决定解决问题的方法。对同一个问题，不同的认识，将得出不同的解决方法；不同的认识，解决问题的方法也不同。一提到“奥林匹克数学”，学生、家长甚至我们有的教师都感到头痛，认为特难，看到这方面的问题，自然就会选用奥数的特殊方法来思考。如果我们把它作为一般的思维题，则会用常规的方法来解答。大家都知道，特殊方法一般比常规方法难，常规方法一般比特殊方法更容易被绝大多数学生接受和掌握。
  一、现象
　　在小学二年级数学“倍的认识”中，出现了“和倍、差倍”问题：
　　1、今年小明和妈妈的年龄和是42岁，妈妈的年龄是小明的5倍，小明今年几岁？
　　2、今年妈妈比小红大28岁，妈妈的年龄又是小红的5倍，小红今年几岁？
　　有的教师或家长把它视为“奥数”，首先让学生记住奥数的公式，然后套用公式进行解答。
　　和倍问题：小数（1倍数）= 和÷（倍数＋1）
　　差倍问题：小数（1倍数）= 差÷（倍数－1）
　　因为公式不难，所以学生很快的就记住了，单独出现和热炒热卖时，学生还套用自如。可到了与其它题混合出现或综合运用时，学生不是“不知所措”，就是“张冠李戴”。
　　造成这种现象的原因，是没有正确的认识这类问题。
  二、认识
　　学生根据“倍的认识”，归纳得出大、小数及倍数的关系：
　　倍数=大数÷小数
　　小数=大数÷倍数
　　大数=小数×倍数
　　小学生做什么事，特别是学习思维，顺向思考和解答还很顺利，让他们逆向思维，却有相当大的难度。除法是乘法的逆运算，所以学生用乘法解答的题目还比较顺利，而遇到用除法解答的问题时，就特别吃力。“和倍、差倍”问题的关键是求小数（1倍数），它是“已知小数和倍数求大数（或和与差）”的逆运算，所以我们首先根据“大数=小数×倍数”来拓展求倍数中两数的“和与差”。
  （一）初步认识
　　学生初步认识倍后，能较熟练的解答下列简单的倍数问题。
  1、小红有8颗水晶石，小红的水晶石的颗数是她自己的几倍？
  2、小明水晶石的颗数是小红的5倍。
  （1）他俩一共的颗数是小红的几倍？
　　（2）小明的颗数比小红的多几倍？
　　第3题告诉学生，倍数中，小数自己是自己的1倍，纠正学生中“小数自己是0倍”的错误认识。第4题让学生明白，抽象的倍数也可以进行加或减。学生有了这样的准备，教师再引导他们正确的解答下面各题，为深度认识做足准备。
  3、小红有8颗水晶石，小明的水晶石颗数是她的5倍，他俩一共有多少颗水晶石？（你能用两种不同的方法来解答吗？）
　　方法一：先根据前两条信息求出小明有多少颗，再加上小红的，就得到他俩一共的颗数。
　　8×5＋8=48（颗）
　　方法二：让学生思考——小红8颗的多少倍才是他俩一共的颗数？根据小明的颗数是小红的5倍，先求得他俩一共的颗数是小红的（5＋1）倍，再求出他俩一共的颗数。
　　8×（5＋1）=48（颗）
　　答：（略）
　　4、小红有8颗水晶石，小明的水晶石颗数是她的5倍，小明比小红多多少颗水晶石？（你能用两种不同的方法来解答吗？）
　　方法一：先根据前两条信息求出小明有多少颗，再求小明比小红多的颗数。
　　8×5－8=32（颗）
　　方法二：让学生思考——小红8颗的多少倍才是的小明比小红多颗数？根据小明的颗数是小红的5倍，先求得小明比小红多（5－1）倍，再求出小明比小红多的颗数。
　　8×（5－1）=32（颗）
　　答：（略）
　　根据上面两道题的第二种方法，我们引导学生通过对比、迁移，得出：
　　和=小数×（倍数＋1）
　　差=小数×（倍数－1）
　　学生明白，同一个小数（1倍数），根据不同的倍数，求出的几倍数就不同——根据两数一共是小数的倍数，求出的则是两数的和；根据大数比小数多的倍数，求出的则是两数的差。
　　上面两题，第二种方法是深度认识必须的，尽管它比第一种方法难理解，我们也要加强这方面的训练。
　　这样的初步认识自然成了深度认识的最近发展区，有了这个最近发展区，我们再对倍进行深度认识就容易多了。
  （二）深度认识
　　通过上面方法二的训练，学生具备了深度认识的条件，我们适时的对倍进行深度认识——解答“和倍、差倍”问题。
  1、今年小明和妈妈的年龄和是42岁，妈妈的年龄是小明的5倍，小明今年几岁？
　　分析：5倍只表示今年妈妈个人的年龄是小明的倍数，今年他俩的年龄和42岁除了妈妈的年龄是小明的5倍外，还有小明的年龄是自己的1倍，即先求出今年他俩的年龄和是小明的（5＋1）倍。今年他俩的年龄和是42岁，正好是小明的6倍，那么就可求出小明今年几岁。
　　42÷（5＋1）=7（岁）答：（略）
　　2、今年妈妈比小红大28岁，妈妈的年龄又是小红的5倍，小红今年几岁？
　　分析：5倍表示今年妈妈的年龄是小明的倍数，今年妈妈比小红大几倍（5－1），而这多的4倍正好是妈妈比小红大的28岁，于是就可求出小明今年几岁。
　　28÷（5－1）=7（岁）答：（略）
　　教师引导学生在深度认识的基础上，根据大、小数及倍数的基本关系归纳总结出解答“和倍、差倍”问题的方法与技巧。
　　和倍问题：小数（1倍数）=和÷（倍数＋1）
　　差倍问题：小数（1倍数）=差÷（倍数－1）
　　与求“和或差”的方法对比，我们发现它们是互逆的。
　 通过对比和发现，学生既能正确、全面地掌握解答倍数问题的方法，又能准确、熟练地解决倍数问题。
  三、结论
  “和倍、差倍”问题其实就是“倍数”问题。我们尽量不要用所谓的奥数方法来要求学生，最好用我们常规的数学方法来解答。这样学生掌握的是思维方法，而不是算式形式。
  当遇到新、难问题时，我们一定要正确、全面的认识。只有正确、全面的认识，才能准确、快速地解决问题。数学几乎没有新知识，有的只是新问题。解决新问题的办法，就是找准学生最近发展区，利用他们的经验和前面掌握的知识，引导他们综合运用来解决这些新问题。解决这些新问题得出的结论或方法，又成了学生解决后面新问题的最近发展区。