【正文】 

在平面几何中常常会遇见一些定值问题，所谓的定值问题是指：在变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或是几何元素的某些几何性质或位置关系不变的一类问题。这些题形式简洁，但内涵丰富。

例1：若是给定等腰三角形中底边上的任意一点，过作于，于，求证：为定值。

解析：

先来看看它本身的解法，目前探讨的解法有四种，分别如下：

解法一：极端化法

点是边上任意一点，于是可以考虑点与点重合时，过点作于,显然此时的,即定值为腰上的高。

    现证明如下：

    过（异于、两点）作于，于,于。显然,再证明即可。

    为等腰三角形

   

又                 

 故在和中

   

    即 为定值且为腰上的高得证。

解法二：面积法 

                

    如图所示连接

       

        

         （等腰中)

    而，所以（为腰上的高）显然为定值。

解法三：借助于锐角三角函数

设等腰的底边为，腰长为，则过点作于,过点作于，

     易知，又有

   

    在和中,

   

           

           

在中，

又      （定值）

解法四：坐标法

    以等腰底边所在的直线为轴，底边高为轴建立如图所示的直角坐标系：

设,,,

    直线

    直线

    由不等式表示的平面区域知点在直线的右侧，在直线的左侧，所以将点代入直线可得： 

    又由点到直线的距离公式可知：  

         =（定值）

     可以验证这一值仍然是等腰腰上的高。

 由此我们还可以得出如下结论：

     等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于等腰三角形一腰上的高。

探究：

探讨一：为等腰三角形，若点在的延长线上，还有此结论吗？我们用面积法探讨：

    如图所示：于，于,

   

        

        （等腰中）为定值，  为定值。

    又三角形的面积底高可知这一定值仍为腰上的高。

    同理点在的延长线上有为定值，仍为腰上的高。

进一步得出结论：

等腰三角形底边所在直线上任一点到两腰的距离之和（差）的绝对值都为腰上的高。

探讨二：反之若为定值，则为等腰三角形吗？答案是肯定的，证明如下：

    在和中,

   

           

            为定值

     又都为定值，要使上式也为定值，则必为定值，

即有    即     为等腰三角形

    另外面积法也可为之证明：假设（定值）

     

                      

                      

                      

    因为的面积为定值，所以上式为定值，其中为定值，所以必为定值，又为变量，故=0

         为等腰三角形。

例2：在等边中，点为其内部任意一点，于，于,于,求证：为定值。

解法一：面积法

   如图所示：在中，连接，设等边边长为

                     

     

为定值，且为等边的高。

解法二：利用题目一的结论

过点作的平行线，分别交于点,显然为等腰三角形，由开篇所知为定值

同理过作，的平行线，分别交,于点,可知,为定值

综上所述：为定值

解法三：坐标法

以等边底边所在的直线为轴，底边高为轴，建立如图所示的直角坐标系，设边长为，则,,,显然

直线

直线

由解法二可知点直线的异侧则，

由点到直线的距离公式可知：

           

            (定值)

可以得出结论：等边三角形内部任意一点到三边的距离之和为。

探究：

    在等边中，点为其外部任意一点，又有什么样的结论成立？

如图所示：连接，设边长为

    

     =

     为定值

所以有这样的结论：为定值仍为的高。

同理：

为定值，

   故，为定值。

 也不难得到为定值，这些定值都为三角形的高。

    总之，定值问题较一般问题需要多思考一步，解这类问题有利于巩固我们所学的基础知识，提高思维能力。我们可以通过探讨，寻找这类问题的解题规律。 从上边的解题过程可知一道小小平面几何定值问题，其内涵丰富多彩，只要认真钻研、总结、归纳，就会受益匪