——“三角形作高”的思考

  【摘 要】 “三角形的高”是人教版四年级下册“三角形的特性”一课中的从属内容，历来被教师们视为教学重难点。往往一节课下来，教师们苦口婆心、循循善诱，却收效不尽人意。笔者通过亲身经历的一次教研活动，从后续的效果检测中，对学生存在的问题进行归纳、整理、枚举，并多维度地寻根究底，探究其出错的成因。
　　【关键词】 小学数学；三角形；作高；学策略

　　在一次同课异构的教学研讨活动中，笔者执教了“三角形的认识”一课。等教学流程实施到本课的重点概念——“高”时，出现了一段小插曲：在学生初步感知高的定义后，笔者让学生们试着给自己的三角形画一条高，然后再进行展示全班交流。此时，一个小小的声音引起了我的注意，是一个后进生。





　　“他的高是歪的！？”经他这么一“指画”，而他的同桌似乎从前一秒还跟随老师肯定的态度中一下子转入了迷茫的状态。 “三角形的高歪了！”为什么他会有这样的想法？是偶然的个案，还是学生积压心底不敢的呐喊。这句“可爱的话语”竟那么轻易地将课本的定义动摇并将这份“不信任”波及其他孩子的心理。到底孩子们是怎么想的？他们心目中的“高”是怎样的？是不是我还忽略了些什么？
　　课后，我找这位同学进行交流才得知：原来他的“高”就跟课本提供的素材是一样的：就像房子屋顶的三角形一样，是从一个点垂直而下的，而刚才的高违反了他的心理认知：歪了。我的心因孩子最原始化对数学的理解而久久不能平静。在平日里，或许教师们为了追求课堂教学的完美、顺畅而无视了这些所谓的“干扰笑话”，忽略了这些微弱的“呐喊声”。在标榜“生本”的课堂中，教师在充分备教材、备学生的同时，如何将两者融洽地架起沟通的桥梁，拿捏好学生实际生活经验这把利刃为教学作更深透的服务值得深思。
　　一、改造生活经验——形成“高”的概念
　　学生对三角形“高”的概念建立，在空间观念上需经历“具体——概括”的过程。在这过程中，需要教师为学生提供一个层层递进的“梯子”才能有效形成。而这些“梯子”的着眼点就在于学生已有的认知规律和知识经验背景。学生对“高”的理解，基于生活经验就是：相对于水平位置，垂直而下。这与我们数学意义上的“高”有明显的区别，但也有最简单一面的共性。因此，教师可以将生活中的“高”引入课堂使学生感到亲切感，拉近数学知识和学生之间的距离。并在此基础上对生活经验进行再改造，提炼、概括对数学“高”的深化认识。






　　比如，在课前先玩个“比高高”游戏作为铺垫，让学生在习以为常的比身高中明了：“高”是从最高点开始测量的。接着从物过渡到形的“比高高”（如图1）。
　　师：这两个三角形，哪个高？（学生一目了然）
　　师：你是怎么看出来的？你能上来比划下吗？
　　（学生在比划中表示着自己及大多数人心目中的高，这也是他们的生活经验和数学“高”最为趋向的简单吻合。于是教师可以趁势而为。）




















　　师：如果老师用尺子代替你们的手势，这两个三角形的高可以这样表示吗？（如图2）
　　（学生欣然同意，因为这是源自于他们内心的生活数学）
　　师：如果我把其中的一个三角形转动下，你们还
　　能看出哪个高吗？（如图3）
　　师：你们能像刚才那样用尺子代替手指比划出它
　　们的高吗？
　　（在请学生上来摆放尺子的时候，进一步明确：尺子竖着的边要和下面的边要垂直。通过这一次的操作，学生的生活经验“高”得以数学上的更为严谨、规范、科学的归纳。）  
　　师：请同学们想象下，如果我把DF这条
　　边贴着桌面，哪个三角形高？高在哪里？
　　（学生先自主地在作业纸上用三角板比划，
　　然后指生上摆，最后PPT演示过程，如图4）
　　学生经历这层层递进对“高”认识的洗礼过程，意识到：原来三角形的高不一定就是自己所谓中的“垂直而下”，它会随着边而改变方向，但是始终都保持着从某一顶点到对边的垂线段。这样的循序渐进，起步于学生的生活经验，又逐步提升于感官思维，有效地突破了生活经验对概念形成的干扰，让生活经验服务于数学教学。
　　二、沟通知识经验——形成作“高”的技能
　　通过对生活经验的再改造，学生对三角形“高”的概念有了清晰的数学上意义的认识。但要将这陈述性的概念具体执行成作“高”的技能，学生还是存在较大的困难。从三角形“高”的定义出发，我们化繁为简，首先联想到的便是：过直线外一点，作已知直线的垂线段。鉴于此，我们可以借助以往的旧知技能为学生提供“脚手架”，以起到事半功倍的教学效果。
　　比如在作三角形“高”的实践操作中，我们可以把练习做这样的处理（如下图），既可以唤醒学生的技能经验，又可以帮助学生辨识作“高”的“庐山真面目”，形成清晰的作图技能。
　　作指定三角形底边上的高：






　　（先让学生独立自主思考、摸索如何恰当摆放三角板。教师在巡视的过程中将学生存在的问题了然于心。）
　　师：作这些指定底边上的高，想想看哪些是相关因素，哪些是无关的？（以图5为例）在师生的共同互动下，最终将图5简化成了这样的图形（如右），看到这样的情形，学生不禁幡然大悟：原来就是以前过直线外一点作已知直线的垂线段啊！于是乎，下面的2道看似左摆右摆都无法下手的难题就在转念间简化并从容突破。这样的操作策略不仅帮助学生快速直捣三角形作“高”的实质，而且让学生在排除干扰的过程中潜意地注重了顶点和底边的对应性。
　　三、对比最近知识区，凸显“高”的本质
　　数学学科具有非常强的逻辑性、系统性，同一或前后知识之间都有千丝万缕的联系，既有共性的存在，又有本质属性的区别。因此，教师要学会用整体、系统、甄别的眼光去看待、思考所教学的内容，帮助学生在构建知识技能的时候既能融会贯通于系统，又能鲜明突出个体。
　　1、 同一知识的归纳——对比
　　虽然本节课的知识概念和操作技能都是各种不同三角形的共性。但他们于细微处都也有着各自的不同点，正是在各自的个性与整体的共性相互辉映下，才更彰显出三角形“高”的本质属性、与众不同。





　　比如在认识了各种不同三角形的作“高”，我们可以进行一次整体的亮相。（如右图），在动画中逐一演绎由锐角三角形的“内高”到钝角三角形的“外高”，学生在直观的动态中可以深刻地感悟到：不论怎样的三角形，只要是作“高”，无一不是从定点作它对边的垂线段，归纳出了“高”的实质。同时随着动画中“高”逐渐由“内”而“外”的移动，更让学生清楚明了三角形之间作“高”的个体差异性，也更能无声胜有地点破直角三角形的“高与边重合”以及钝角三角形的“短边作高”的纠结。





　　2、 新旧知识的迁移——对比
　　就最近相关知识联系点而言，三角形“高”与平行四边“高”最为相近。所以，很多教师在引入三角形“高”时借助平行四边“高”来开路，虽然这在一定程度上能帮助学生温旧知获新知。但毕竟两者有本质上的不同，如果教师在借用后没能再回过头来引导学生“看一看，比一比”，那么旧知就无形当中对新知产生消极的干扰作用。
　　比如在学习了三角形作“高”后，我们可以进行一组题组对比练习。（如图10）教师在反馈时可以先将收集到的作业情况作简单展示再整合成PPT进行深入观察、分析。（如图11）
　　师：为什么刚才你们画三角形的高，只有唯一的一种？而平行四边形的高却有多种情况？
　　结合具体的图形以及刚才的亲身操作，学生隐约中能悟到它们之间的不同。在学生初表心声的基础上，我们进而把平面图形抽化成点和线（如图12）。此刻，学生不禁如抽丝般地豁然开朗：原来就是这样的道理造就它们的不同啊！经历了这一过程，学生深刻地意识到：此“高”彼“高”不仅相互依存，而且还有着各自本质的不同。

















　　四、借鉴他山之“石”，提升作“高”的精准
　　在之前的环节操作策略实施下，虽然能较好地帮助大多数学生排除干扰，初步形成作“高”的技能。但是对于一部分后进生来说，本身对旧知识掌握得不到位或者技能的遗忘性，都会阻碍他对三角形作“高”技能的掌握，出现手握三角尺却无从下手的情景。对于这部分学生，为了提高学习效率，除了要求他们在教师示范作“高”的基础上将作“高”步骤铭记于心，教师还要另觅他法，促进其作“高”的技能。
　　寻觅了许久，笔者借鉴到某一小学教改项目的研究成果——“尺板作高法”。灵感来自于画平行线的两把尺子，进而改为一把直尺、一把三角板相互协同作高。直尺重合“底”，三角板沿着直尺移动，到点则停，过点作“高”，淋漓尽致地将底和高相对应的特性从两把尺子上体现出来。具体操作如下示范：





　　实践证明：虽然“尺板作高法”它的作图工具多了，但学生似乎是找到了对边的倚靠点，操作起来更为有依据，更为轻松，作“高”的准确性也明显提高。
　　其实，在我们的教学中出现类似令人头疼的问题比比皆是。其关键就在于教师是否用心去遵循学生的心理特征，把握学生的实情起点，并在深刻解透教材的基础上，把两者的错位点连接上，帮助学生打开学习的心扉、理清思路、深度反思，有效构建知识技能，体验数学情感。只是真切地处理好“生本”的关系，做好教师引导的角色，才能让我们的课堂得以扎实丰厚、思维灵动，达成真正意义上的高效。
　　参考文献：
　　[1] 杜付庆，从错例开始改进教学，数学教育学报，2012 年地 11 卷第 2 期
　　[2]  林丽萍、夏俊，如何正确对待学生解题中的错误[J]，教学月刊（小学版）2011.7-8
　　[3] 李继锋，透视错例，巧开处方[J]，中小学数学（小学版）2011.1-2