【正文】  【摘 要】 钟表的时针与分针成角问题对于多数初一学生来说是一个较难问题。本文对这个问题进行了深入研究，探寻其规律，培养学生的观察、分析、归纳、推理能力。
　　【关键词】 时针；分针；成角

　　人民教育出版社出版的七年级上册数学，第四章几何初步中的4.3.1角一节后出现了关于钟表的时针和分针所成角的练习题，学生对简单的成角问题倒还能解决，但在解决稍复杂的时针与分针的成角问题时不少学生花费了大量的时间，有的就束手无策了。
　　对于钟表上时针与分针的成角问题虽不是学生需要掌握的重点，但学生在解决实际问题时难免会遇到。能否准确快速地解决问题，是我们急需研究的课题。为此，进行专项练习，通过分析、比较、类比寻求到钟表时针与分针成角的规律性知识，得出了结论。并把它作为公式来解决这类问题，大大减轻了学生学习负担。
　　一、时针与分针的旋转速度









　　我们知道，钟面上有60个等分的小刻度，12个等分的大刻度。在60分钟的时间里，分针旋转一周对应的角度是3600，刚好绕过60个小刻度，所以分针一分钟绕过一个小刻度对应的角度数是3600 ÷ 60 = 60；在60分钟的时间里，时针转过一个大刻度（5个小刻度）即是转过60 ╳ 5=300，那么在一分钟的时间里时针转动300 ÷ 60 = 0.50。于是我们可以知道在一分钟的时间里分针比时针多转动 60 - 0.50 = 5.50。
　　二、运动的起点、终点、方向
　　时针与分针的成角问题，类似于研究行程问题中的追及问题，首先要弄清运动的起点、终点与运动的方向。我们以解答的时刻数据中的整点钟时针与分针所处的位置作为时针与分针运动的起点，以解答的时刻时针与分针所处的位置作为运动的终点。由于时针与分针运动的特定方向，我们规定这里所说的角都是以顺时针方向为基准。如3：00时时针与分针所成的角为300 ╳ 3 = 900，9：00时时针与分针所成的角为300 ╳ 9 =2700 ，这样的规定是为了便于对此类问题的研究。
　　规律探究  
　　求8：20时时针与分针所成的角度。以顺时针方向为基准8：00时时针在前，分针在后，时针在分针前面300 ╳ 8 = 2400处。从8：00以后分针与时针形成追及问题，分针每分钟比时针多转动5.50，则20分钟分针多转动5.50 ╳ 20 = 1100，这时时针仍处于分针前面：2400  - 1100 = 1300处，这就是8：20时时针与分针所成的角度。
　　求8：50时时针与分针所成的角度。按照上题分析，在50分钟时间里分针多转动5.50 ╳ 50 = 2750，此时分针已在时针前面2750  - 2400 = 350处，这就是8：50时时针与分针所成的角度。
　　若不考虑时针与分针谁前谁后，则可概括为：
　　8：20时时针与分针所成的角：|300 ╳ 8 - 5.50 ╳ 20|= 1300
　　8：50时时针与分针所成的角：|300 ╳ 8 - 5.50 ╳ 50|= 350
　　又求10：05时时针与分针所成的角度。应用上面所得的结论来计算：
　　|300 ╳ 10 - 5.50╳ 5|
　　= |3000 - 27.50|
　　= 272.50
　　这是我们的规定所形成的顺时针角度，由于这个角度大于1800，便用3600 - 272.50 = 87.50，这就是问题的答案。
　　不失一般性，要求某时刻m：n时时针与分针所成角的度数，以m：00时刻为时针与分针运动的起点，此时时针在分针前面300m处，分针以每分钟多转动5.50的速度追赶，则在n分钟的时间里分针共追赶了5.50n，因而在m：n时刻时针与分针所成的角度为α=|300m - 5.50n |，当α＞ 1800时，则3600 - α 即为所求角度。把这个结论当作公式，学生便能快速准确地算出任一时刻钟表上时针与分针所形成的角度，而无需大费周折。
　　三、灵活运用
　　已知时刻求钟面上时针与分针所成角问题，用上面的公式即可解决，无需多谈。在已知时针与分针所成角度求对应时刻的问题中，要求学生灵活运用，全面考虑。
　　由公式 α =|300 m- 5.50n |解答已知角度求时刻问题时，若能知时针在前则直接表示为α=300m - 5.50n ，若能知分针在前则直接表示为α = 5.50n - 300m。并在列式解答之前结合头脑中的钟表图形确定问题解的个数，除特殊的只有一种情形外，一般地说有两种情况。在能确定有两种情况的前提下，用α =|300m - 5.50 n|只求出了一个解，我们还应该用3600 - α 等于所给角度来求解。我们务必做到具体问题具体分析。
　　要注意这里的m、n是有取值范围的，特别是0 ≤ n < 60 ， 00 ≤ 5.50 n < 3300。知道这一取值范围在解绝对值方程时对我们是有很大帮助的。
　　问题1：下午3点正时，时针与分针成900度角。
　　（1）3点多少分时，时针与分针重合？
　　（2）3点多少分时，时针与分针成一直线？
　　问题（1）中时针与分针重合，即时针与分针所成的角度为0度，只有一种情形。利用公式可得0 =|300 ╳ 3 - 5.50n |，求出时间为3点16分。问题（2）中时针与分针成直线，即α = 1800，分针应在时针的前面1800处，只有一种情形，利用公式可得 5.50n - 300 ╳ 3= 1800求出时间为3点       分。
　　问题2：下午3点到4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟时针与分针成600角。
　　时针与分针成600角应有两种情形，由公式 α =|300 m- 5.50n | 可得
　　|300 ╳ 3 -  5.50  n|= 600  ，即|900  -  5.50  n|= 600 
　　又∵ 00 ≤ 5.50 n < 3300       
  ∴900  -  5.50  n = ±600
　　解得  n1=5■，n2=27■.
　　即从下午3点开经过5■分钟或27■分钟时针与分针成600角。
　　问题3：上午11点到12点之间，什么时刻时针与分针成1100角。
　　时针与分针成1100角应有两种情形，由公式 α =|300 m- 5.50n | 可得
　　|300 ╳ 11- 5.50n |= 1100  ， 即|3300  -  5.50  n|= 1100 
　　又∵ 00 ≤ 5.50 n < 3300  ，    
  ∴3300  -  5.50  n = 1100   
        解得 n = 40 
　　由于问题有两种情形，因此还应用 3600 - α = 1100来求解
　　3600 - |300 ╳ 11- 5.50n |= 1100  ， 即|3300  -  5.50  n|= 2500 
　　又∵ 00 ≤ 5.50 n < 3300  ，    
  ∴3300  -  5.50  n = 2500  
       解得 n = 14■
　　综上可知，在11点 14■分或11点40分时时针与分针成1100角。
　　不难看出，数学的学习，离不开深入细致的研究，离不开对事物内在数量关系的探求，发现其内在规律并用以解决实际问题。在平时的练习中，做题之后的归纳、总结同样是至关重要的。